Ecuaciones de primer grado

¿Qué son las ecuaciones lineales?

Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo $ax+b=0$ , con $a \not = 0$ , ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.

Pasos para resolver una ecuación lineal

En general para resolver una ecuación lineal o de primer grado debemos seguir los siguientes pasos:

1 Quitamos paréntesis

Esto es, si hay expresiones del estilo

$3(x-8) + 6(2-x) - (x-2)=x$

Entonces desarrollamos tomando en cuenta la propiedad distributiva, esto es $a(b+c)=ab+ac$ y también la ley de los signos será importante.

$3(x-8) + 6(2-x) - (x-2)=x \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 3x-24+12-6x-x+2=x$

2 Quitamos denominadores

En el caso que existan términos fraccionarios en la expresión, debemos identificar los diferentes denominadores que haya, calcular el mínimo común multiplo (m.c.m) de estos y multiplicar la ecuación por el m.c.m.. O en vez del m.c.m, también puedes calcular el producto de todos los denominadores aunque se recomienda más el primero, pues es un número más pequeño o más simplificado. Por ejemplo:

$\displaystyle \frac{x-10}{2} + \frac{x+8}{4} = 0 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \text{mcm}(2,4) = 4$

multiplicamos la primera fracción por $\displaystyle \frac{2}{2}$

$\displaystyle \frac{2(x-10)}{4} + \frac{(x+8)}{4} = 0 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 2(x-10) + (x+8) = 0 \cdot 4$

Aquí de nuevo podríamos necesitar quitar paréntesis para simplificar

$\displaystyle 2x-20 + x+8 = 0 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 3x+12 = 0$

3 Agrupamos los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro

Ya que hayamos hecho el paso 1 y paso 2, tendremos la suma y resta de términos con x y términos independientes de ambos lados de la ecuación, lo que sigue es juntar las $x$ de un lado y los términos independientes del otro, para esto recuerda que si de un lado de la ecuación se está sumando un $2x$ , por ejemplo, lo puedo pasar del otro lado con la operación inversa, es decir, quedaría $-2x$ del otro lado

$8x-64 = 0 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 8x=64$

$10x+12 = 7x+33 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 10x-7x=33-12$

4 Reducimos los términos semejantes

Ya que tengo términos con $x$ juntos, los sumo o resto dependiendo. De igual manera con los términos independientes, por ejemplo:

$10x-7x=33-12 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 3x=21$

$9x-3x+2x+x=5+27+54-12+7 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} 9x=81$

5Despejamos la incógnita

Si hay un coeficiente acompañando a la variable $x$ , como la está multiplicando lo pasaré del otro lado con la operación inversa, esto es, dividiendo. A esto le llamo despejar

$\displaystyle 9x=81 \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=\frac{81}{9} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} x=9$